Question

在ΔABC中，角A,B,C所对应的边a,b,c，已知sin(C/2)= √10/4

在ΔABC中，角A,B,C所对应的边a,b,c，已知sin(C/2)= √10/4,
问：若ΔABC的面积为3√15/4，且sin^2A+SIN^2B=(13/16)sin^2C,求a,b,c的值

Answer 1

∵解：由题可知：sin(C/2)= √10/4
ΔABC的面积为3√15/4，且sin^2A+SIN^2B=(13/16)sin^2C
由三角形的面积公式S=1/2absinC
可以得：1/2absinC=3√15/4
即：absinC=3√15/2--------------------------------------①
∵cosC=1-2sin^2(C/2)
∴sin^2(C/2)=(1-cosC)/2
根据已知条件可得：cosC=-1/4--------------------------②
因为三角形的每一个角要小于180度
所以可以知道C=135度
所以可以求出sinC=√15/4--------------------------------③
联合①③即可求出ab=6--------------------④
又∵sin^2A+SIN^2B=(13/16)sin^2C
可以得出a^2+b^2=(13/16)c^2---------------------------------------------⑤
又由三角形的余弦公式：c^2=a^2+b^2-2abcosC----------------------⑥
联合⑤⑥可得出c的值为4
由⑤可化解为：(a+b)^2-2ab=(13/16)c^2
即(a+b)^2=12+(13/16)*16
(a+b)^2=25
∴a+b=5----------------------------------⑦
联合④⑦可得出a=2,b=3或者a=3,b=2

Answer 2

14