Question

初三数学。如图Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF.

（1）当BE/AE=1/2时，求证：EG/FG=2
（2）若当BE/AE=n时，EG/GF=√2，请直接写出n的值。
求解！

Answer 1

1）连AF,
因为∠ACB=90°，CF⊥CE，
所以∠FCE=∠ACB,
所以∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE,
即∠FCA=∠ECB,
因为AC=BC，CE=CF
所以△ACF≌△BCE,
所以AF=BE,∠CAF=∠CBE=45°
因为在等腰直角三角形ACB中，∠CAB=45°
所以∠CAF=∠CAB,
所以CA平分∠BAF,
所以AE/AF=EG/FG,
又BE/AE=1/2,
所以EG/FG=AE/AF=AE/BE=2,
2)由上得到，AE/BE=EG/FG,
即：1/n=√2,
所以n=√2/2

Answer 2

⑴作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，
∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，
∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．
∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，
∴GM=GN．
∴S△AEG=2S△AFG，
∴EG=2GF，
∴EG/FG=2
⑵由（2），得
当 BE／AE=n时，S△AEG=nS△AFG，
则 BE／AE=EG／FG，
∴当n= √2／2时， EG／GF= 2．

Answer 3

1)证明:∠BCA=∠ECF=90°,则∠BCE=∠ACF;
又BC=AC,EC=FC,则:⊿BCE≌ΔACF(SAS),得AF=BE;∠CAF=∠B=45°.
故AF/AE=BE/AE=1/2;
∠CAF=∠CAE=45°,可知:点G到AE,AF的距离相等.
所以:S⊿AFG/S⊿AEG=AF/AE=FG/EG=1/2.
2)解:EG/GF=√2,则AE/AF=AE/BE=√2,BE/AE=√2/2.即n=√2/2.

Answer 4

（1)作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，
∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，
∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．
∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，
∴GM=GN．
∴S△AEG=2S△AFG，
∴EG=2GF
∴EG/FG==2
2、由（1），得
当BE/AE =1/n时，S△AEG=nS△AFG，
EG=√2GF，
∴当n=√2 时，BE/AE=1/2√2