已知a,b,c都是正数，且a+b+c=1,则(1/a)+(1/b)+(1/c)的最小值是多少？
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解:
因为a+b+c=1
所以(1/a)+(1/b)+(1/c)=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1+(a+b)/c
=3+(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c=3+2(b/a+a/c+c/b)
又a,b,c都是正数
所以上式
>=3+2*3(b/a*a/c*c/b)^(1/3)
=9
当且仅当b/a=a/c=c/b,即a=b=c=1/3时取等号
所以(1/a)+(1/b)+(1/c)的最小值是9
因为a+b+c=1
所以(1/a)+(1/b)+(1/c)=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1+(a+b)/c
=3+(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c=3+2(b/a+a/c+c/b)
又a,b,c都是正数
所以上式
>=3+2*3(b/a*a/c*c/b)^(1/3)
=9
当且仅当b/a=a/c=c/b,即a=b=c=1/3时取等号
所以(1/a)+(1/b)+(1/c)的最小值是9
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