Question

设a=(1+cosα，sinα)，b=(1-cosβ，sinβ)，c=(1，0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，

a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π/6，则sin(α-β)/4的值为______。（注：a，b，c是向量）

Answer 1

α∈(0，π)，β∈(π，2π)，
a·c=(1+cosα，sinα)·(1,0)=1+cosα=|a|×|c|cosθ1=√[(1+cosα)²+sin²α]cosθ1
cosθ1=(1+cosα)/√2(1+cosα)=√[(1+cosα)/2]=|cos(α/2)|=cos(α/2)
θ1=α/2
b·c=(1-cosβ，sinβ)·(1,0)=1-cosβ=|b|×|c|cosθ2=√[(1-cosβ)²+sin²β]cosθ2
cosθ2=(1-cosβ)/√2(1-cosβ)=√[(1-cosβ)/2]=|sin(β/2)|=sin(β/2)=cos[(β/2)-(π/2)]
θ2=(β/2)-(π/2)
θ1-θ2=π/6，(α/2)-(β/2)+(π/2)=π/6,(α-β)/2=-π/3,,(α-β)/4=-π/6,
则sin(α-β)/4的值为-1/2

Answer 2

-1/2