Question

微分函数： ylny dx + (x-lny)dy=0

我算到 ln｜x｜ = lnln｜y｜+C 然后不知道怎么办了。可能是ln那部分没学到家 求指教

Answer 1

解：∵ylny dx + (x-lny)dy=0
∴ylnydx/dy+x=lny..........(1)
∴原方程与方程(1)同解
用常数变易法求解方程(1)
∵ylnydx/dy+x=0 ==>dx/x=-dy/(ylny)
==>dx/x=-d(lny)/lny
==>ln│x│=-ln│lny│+ln│C│ (C是积分常数，也可以把ln│C│设成C)
==>x=C/lny
∴设方程(1)的解为x=C(y)/lny (C(y)表示关于y的函数)
∵dx/dy=(C'(y)*lny-C(y)/y)/ln²y
代入方程(1)得ylny[(C'(y)*lny-C(y)/y)/ln²y]+C(y)/lny=lny
==>y*C'(y)-C(y)/lny+C(y)/lny=lny
==>y*C'(y)=lny
==>C'(y)=lny/y
==>C(y)=∫lnydy/y=∫lnyd(lny)=ln│lny│+C (C是积分常数)
∴方程(1)的解是x=(ln│lny│+C)/lny
故原方程的通解是x=(ln│lny│+C)/lny (C是积分常数)。

Answer 2

ylny dx + (x-lny)dy=0
=> dx/dy + [1/(ylny) ] * x = 1/y 函数x，自变量 y 的一阶线性方程
=> x = e^ [- ∫ dy/(ylny)] { ∫ (1/y) * [e^ ∫ dy/(ylny)] dy + C }
= (1/lny) * { ∫ ( lny /y) dy + C }
= (1/lny) * { (lny)^2 /2 + C }
=> x = lny /2 + C/ lny 是原方程的通解。

追问

直接代公式就好啦？不过积分出来lny的那个绝对值号怎么就可以默认没有的呢？不懂

追答

常见的函数y，自变量x， 本题要换一下。
题目中出现了lny，y>0

Answer 3

两边两次求e指数运算，｜x｜ = ln｜y｜*e的C次方，可以用c1换，再求一次，即最终答案，y=ce^｜x｜

追问

不对，我要求的是x=f(y)的函数啊

Answer 4

把C化成Lnc的形式，知道了吧？