Question

设u=u(x,y)有二阶连续偏导数，证明在极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ下有

∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=∂^2u/∂r^2+1/r(∂u/∂r)+(1/r^2)(∂^2u/∂θ^2)
求具体步骤谢谢啦！！！

Answer 1

∂u/∂r = ∂u/∂x * ∂x/∂r + ∂u/∂y * ∂y/∂r = ∂u/∂x * cosθ + ∂u/∂y * sinθ (1)
∂u/∂θ = ∂u/∂x * ∂x/∂θ + ∂u/∂y * ∂y/∂θ = ∂u/∂x * (-r sinθ) + ∂u/∂y * (r cosθ)
∂²u/∂r² = ∂(∂u/∂x * cosθ + ∂u/∂y * sinθ)/∂r
= cosθ *[ ∂²u/∂x² * cosθ +∂²u/∂x∂y * sinθ ] + sinθ *[ ∂²u/∂y∂x * cosθ + ∂²u/∂y² * sinθ ]
= ∂²u/∂x² * (cosθ)² + sin2θ * ∂²u/∂x∂y + ∂²u/∂y² * (sinθ)² (2)
∂²u/∂θ² = ∂[ ∂u/∂x * (-r sinθ) + ∂u/∂y * (r cosθ) ] / ∂θ
=(-r sinθ)*[ ∂²u/∂x² *(-r sinθ) +∂²u/∂x∂y * r cosθ] + r cosθ *[∂²u/∂y∂x * (-r sinθ) + ∂²u/∂y² * r cosθ]
+ ∂u/∂x * (-r cosθ) + ∂u/∂y * ( - r sinθ)
= ∂²u/∂x² * (r sinθ)² - r² sin2θ * ∂²u/∂x∂y + ∂²u/∂y² * (r cosθ)² - r * ∂u/∂r (3)
(2)+ (1/r²)* (3) + (1/r) * (1) = ...... = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²

追问

∂2u/∂r2 = ∂(∂u/∂x * cosθ + ∂u/∂y * sinθ)/∂r
这步到下面是怎么来的呀？
= cosθ *[ ∂2u/∂x2 * cosθ +∂2u/∂x∂y * sinθ ] + sinθ *[ ∂2u/∂y∂x * cosθ + ∂2u/∂y2 * sinθ ]

追答

∂(∂u/∂x)/∂r = ∂²u/∂x² * ∂x/∂r + ∂²u/∂x∂y * ∂y/∂r
∂(∂u/∂y)/∂r = ∂²u/∂y∂x * ∂x/∂r + ∂²u/∂y² * ∂y/∂r
二元复合函数的高阶偏导数，相当复杂。

追问

在考研的辅导书上面的例题，看的我都迷糊了，请问您知不知道哪个教材上面有讲解这种问题的？

追答

我这是从右向左证明，实际上就是让你求几个复合函数的高阶偏导数，在组合起来。
或者称之为 微分方程的坐标变换。
同济六版的教材， 下册P80-P81，它是从左向右证明。