Question

一个集合问题。

A,B为两个集合，定义 AΔB = {x| x∈A∪B，但x不属于A∩B}
证明: 对任意集合A、B、C有, (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)

Answer 1

先画出A ΔB 的文氏图。数学上，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合。 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算。

集合 A 和 B 的对称差通常表示为 AΔB。 例如：集合 {1,2,3} 和 {3,4} 的对称差为 {1,2,4}。所有学生的集合和所有女性的集合的对称差为所有男性学生和所有女性非学生组成的集合。
对称差相当于两个相对补集的并集，即：
A Δ B = (A − B) ∪(B − A)
也可以表示为两个集合的并集减去它们的交集：

A Δ B = (A ∪B) − (A ∩B)
或者用 XOR 运算表示：

A Δ B = { x : (x ∈A) XOR (x ∈B) }.
对称差运算满足交换律和结合律：

A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
由以上知识就很容易证明了

Answer 2

根据对称差的定义有：A Δ B = (A∪B) − (A ∩B)
所以：
(AΔB)ΔC
=(AΔB)∪C - (AΔB)∩C
=[(A∪B) − (A ∩B)]∪C - [(A∪B) − (A ∩B)]∩C
=A∪B∪C - A ∩B∪C - A∪B∩C + A ∩B∩C
AΔ(BΔC)
=A∪(BΔC) - A∩(BΔC)
=A∪B∪C - A∪B∩C - A∩B∪C + A ∩B∩C
所以 (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)

Answer 3

证明AΔB = {x| x∈A∪B，但x不属于A∩B}
AΔB=｛x|x∈{A∪B-A∩B}}
(AΔB)ΔC={x∈{(A∪B-A∩B)∪C-(A∪B-A∩B)∩C}}={x∈{A∪B∪C-A∩B∪C-A∪B∩C+A∩B∩C}}
={x∈{A∪B∪C-A∪B∩C+A∩B∩C-A∩B∪C}}
={x∈{A∪(B∪C-B∩C)-A∩(B∪C-B∩C}}
因为BΔC=｛x|x∈{B∪C-B∩C}}
AΔ(BΔC)=｛x|x∈A∪（B∪C-B∩C）-A∩(B∪C-B∩C）}
所以 (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)
P.S：这个题目化图更加直观
如有不明白，可以追问！！
谢谢采纳！