Question

已知O是正三角形ABC内部一点，向量OA+向量OB+向量OC=0，为什么O是三角形ABC的重心？重心有什么性质？

详细说明

Answer 1

首先 OA+OB跟据四边形定理等与O与AB中点D的连线 OD的两倍，即OA+OB=2OD

因为OA+OB+OC=2OD+OC=0   所以O、D、C三点共线，且OC=2OD 即O在AB的中线上且是AB 的三等分点，所以O是△ABC的重心

Answer 2

向量OA+向量OB+向量OC=0
向量OA+向量OB=-向量OC, 向量OA+向量OB与 向量OC共线，
向量OA+向量OB是以向量OA，向量OB为邻边的平行四边形的对角线，向量OA+向量OB过AB中点D
所以C,O,D三点共线，且线段OC=2OD，ABC是正三角形，O是三角形ABC的重心（中心）
重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍