Question

已知f(x)是定义域在R上的偶函数,且对任意的x属于R,总有f(x+2)=-f(x)成立,则f(19)=?

Answer 1

f(19)=-f(17)=f(15)=-f(13)=f(11)=-f(9)=f(7)=-f(5)=f(3)=-f(1)
f(x+2)=-f(x) 当x=-1时 f(-1+2)=-f(-1)
即f(1)=-f(1) 解得f(1)=0 代入 得 -f(1)=0
所以f(19)=-f(1)=0

Answer 2

由题f(x+2)=-f(x)得：
-f(x+2)=f(x)；
-f(x-2)=f(x)；
所以-f(x+2)=-f(x-2)，即f(x)=f(x+4)；周期为4.
f(19)=f(4*4+3)=f(3)；由已知f(x+2)=-f(x)，f(3)=-f(1)；
f(19)=-f(1)；
由f(x+2)=-f(x) ，当x=-1时 f(-1+2)=-f(-1)，即f(1)=-f(1) 解得f(1)=0
f(19)=0.

Answer 3

f(x+2)=-f(x)；
f(x)=f(-x)；
f(-1+2)=-f(-1)；即f(1)=-f（-1）
又f(1)=f(-1)；
所以f（1）=0;
f(19)=-f(17)=f(15)=-f(13)=f(11)=-f(9)=f(7)=-f(5)=f(3)=-f(1)=0

Answer 4

f(19)=-f(17)=f(15)=-f(13)=f(11)=-f(9)=f(7)=-f(5)=f(3)=-f(1)=f(-1)
因为偶函数f(1)=f(-1)
综上的f(19)=f(1)=0