Question

高数二，关于洛必达法则

洛必达法则是怎么推导出来的？洛必达凭什么，怎么得出的这个法则，你说是这样就是这样吗？依据是什么？还有为什么不是
1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； 　　(3)当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大)，那么 　　x→a时 lim f'(x)/F'(x)。 =A
我觉得这样更好更直观，
说明函数比为某个数或无穷时，导函数之比同样（同样适用于x→∞）

当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大)，那么 　　x→a时 lim f'(x)/F'(x)。 =A
同样适用于x→0
我这样说对吗?
高手主要帮我看看后面的问题，因为关于推导的过程，我稍微听说了一点，而后面的问题是我提出的新论点、说不定会引领时代的潮流

Answer 1

洛必达法则：
设 　　(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
　　(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 　再设 　(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
　　(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； 　
　(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 　　这个法则的条件有三个，楼主提出的第一个论点在第三个条件中少了一个“当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)”，这是不严谨的，当x→a时lim f'(x)/F'(x)必须存在(或为无穷大)才会有意义，至于用什么样的表达方式，lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x) lim f'(x)/F'(x)=A。其实都一样，没什么区别。

楼主提出的第二个论点，这其实就是洛必达法则啊，只要严格满足以上三个条件，同样适用于x→0，如果不满足以上三个条件之一，就不适用于x→0了。
题外话，其实，以上的法则表述都是不严谨的，对于无限趋近这种说法很模糊的，关于微积分，楼主如果很有兴趣的话可以去了解一下数学分析这门课，里面几乎将所有的理论都严格的用数学方式进行了证明，不过这门课很让人费解，没那么容易想通。祝楼主学习顺利。

Answer 2

当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大)，那么 　　x→a时 lim f'(x)/F'(x)。 =A
这一论断的荒谬性，举个简单的例子就可证明！
x→1[(3x²+5)/(2x³+1)]=8/3
x→1[(3x²+5)′/(2x³+1)′]=x→1[(6x/6x²)]=1

Answer 3

洛必达法则是用柯西定理证明