Question

已知椭圆E:x62/4+y^2=1,直线l:x=my+1与椭圆交于不同的两点A,B

1)若直线y=kx(k>0)与椭圆交于不同的两点C,D,当m=-1时，求四边形ACBD面积的最大值。
2）在X轴上是否存在点M，使得直线MA与直线MB的斜率之积为定值。若存在，求出点M的坐标。若不存在，请说明理由。

Answer 1

1) m=-1 => A(8/5,-3/5) B(0,1) AB=(8根号2)/5
y=kx=> C D(2/根号(1+4k^2),2k/根号(1+4k^2)) (-2/根号(1+4k^2),-2k/根号(1+4k^2))
四边形ACBD面积=AB×(C点到直线l:x=-y+1的距离+D点到直线l:x=my+1的距离)/2
=(8根号2)/5*{[(2+2k)/根号(1+4k^2)+1]+[(2+2k)/根号(1+4k^2)-1]}/根号2/2
=16(1+k)/根号(1+4k^2)/5
求出该表达式的最大值即可。

2)x=my+1代入椭圆方程
=>(1+m^2/4)y^2+(m/2)y-3/4=0
=>y1y2=-3/(4+m^2)
x=my+1
=>y=(x-1)/m
代入椭圆方程
=>(1+m^2)x^2-2x+(1-m^2)=0
=>x1x2=8/(4+m^2) x1x2=4(1-m^2)/(4+m^2)
假设M(a,0)
直线MA与直线MB的斜率之积=y1/(x1-a)*y2/(x2-a)
=y1y2/[(x1-a)(x2-a)]
=-3/(4+m^2)/[(4-4m^2)/(4+m^2)-8a/(4+m^2)+a^2]
=-3/[(a^2-4)m^2+4a^2-8a+4]
要想上式为常数，a^2-4=0 且4a^2-8a+4不等于0 => a=-2，定点(-2,0)

Answer 2

解：x62/9 y^2/4=1 的半焦矩 c=±√5, 焦点F1(-√5,0) ,F2(√5,0)√ 设所求椭圆的标准方程为： x^2/a^2 y^2/b^2=1. --- (