Question

已知函数f(x)= log1/2 (x+√（x²-2）)的反函数为f-1(x)

设g(n)= √2 f-1(n+ log1/2 √2),n属于N
若对任意自然数n，都有g(n)<(a^2+a^-2)/2 (a>0,a不等于1),求实数a的范围

Answer 1

已知函数f(x)= log‹1/2› [x+√(x²-2)]的反函数为fֿ¹(x)
设g(n)= (√2) fֿ¹(n+ log‹1/2›√2)=(√2) fֿ¹[n-(1/2)]， n∈N
若对任意自然数n，都有g(n)<(a²+aֿ²)/2 (a>0,a不等于1),求实数a的范围
解：f(x)= log‹1/2› [x+√（x²-2)]的定义域：由x²-2≧0，得x²≧2，故x≦-√2或x≧√2........(1)
由x+√(x²-2)]>0，得x>0.........(2)，f(x)的定义域是：(1)∩(2)={x︱x≧√2}；值域：{y︱-∞<y<+∞}
下面求f(x)的反函数：
由y=log‹1/2›[x+√(x²-2)]，得(1/2)^y=x+√(x²-2)，即2^(-y)=x+√(x²-2).............................(2)
又(1/2)^y=2/[x-√(x²-2)]，即有2^y=[x-√(x²-2)]/2，故有2^(y+1)=x-√(x²-2).......................(3)
(2)+(3)得2^(-y)+2^(y+1)=2x，∴x=2^y+2^(-y-1)
交换x，y，便得fֿ¹(x)=y=2^x+2^(-x-1)................(4) [定义域{x︱-∞<x<+∞}，值域：{y︱y≧√2]
故g(n)=(√2)fֿ¹(n-1/2)=(√2)[2^(n-1/2)+2^(-n-1/2)]=2ⁿ+2ֿⁿ<(1/2)(a²+aֿ²) (n∈N，a>0，a≠1)
由此可见，不存在那样的实数a，能对任意自然数n，都有g(n)<(a²+aֿ²)/2 。