Question

求解“球与圆台的上下底面及侧面都相切，且球的表面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台体积之比

Answer 1

结果为：3（根号3 ）/1 3 。

解：球的表面积与圆台的侧面积之比为3:4即4πr2 /【 L（2πa+2πb）/2】=3/4  （注：r2 为r平方，下同）

得r2  /  【（a+b）L】 = 3/16

又由切线长定理知L=a+b

所以r2  /  （a+b）2 = 3/16

所以r/（a+b）=（根号3）/ 4

即r/L=（根号3）/ 4，

即L=r/【（根号3）/ 4】

又由勾股定理知L2=（a-b）2  + （2r）2，即（a+b）2=（a-b）2  + （2r）2，

化简得ab=r2

所以，球体积 / 圆台侧面积 =4πr3   /   【πL（a2+b2+ab）/3】

=4πr3   /   【πL（a2+b2+ab）/3】

=4r3   /   【L（L2-ab）/3】

=4r3   /   【L（L2-r2）/3】

将L=r/【（根号3）/ 4】代入上式在化简得上式的值为3（根号3）/13

Answer 2

解：球的表面积与圆台的侧面积之比为3:4即4πr2 /【 L（2πa+2πb）/2】=3/4 （注：r2 为r平方，下同。图如楼上）
得r2 / 【（a+b）L】 = 3/16
又由切线长定理知L=a+b
所以r2 / （a+b）2 = 3/16
所以r/（a+b）=（根号3）/ 4
即r/L=（根号3）/ 4，
即L=r/【（根号3）/ 4】

又由勾股定理知L2=（a-b）2 + （2r）2，即（a+b）2=（a-b）2 + （2r）2，
化简得ab=r2

所以,球体积 / 圆台侧面积 =(4/3)πr3 / 【πL(a2+b2+ab)/3】
=(4/3)πr3 / 【πL((a+b)2-ab))/3】
=4r3 / 【L(L2-ab)】
=4r3 / 【L（L2-r2）】
将L=r/【（根号3）/ 4】代入上式在化简得上式的值为3（根号3）/13
答：球的体积与圆台体积之比是3（根号3）/13 。

Answer 3

解： 设圆台的半径为X，高为H。 球的表面积S=4πR*R ，以下分两种情况：
一、X>H，即圆台形状为扁台形
内切球的直径即为圆台的高，H=2R ，圆台侧面积=2πX*H = 2πX*2R
由(4πR*R) : (2πX*2R) = 3:4 得 X=4/3 R
圆台的体积V = πX*X *2R = 32/9 *π*R*R*R ( 32/9 π*R^3 )

二、X<H，即圆台为柱形
内切球的半径即为圆台顶面圆的半径，X=R，圆台侧面积=2πR*H
由(4πR*R) : (2πR*H) = 3:4 得 H=8/3 R
圆台的体积V = πR*R *8/3R = 8/3 *π*R*R*R ( 8/3 π*R^3 )