Question

一个四面体的所有棱长都为根号2，四面体的顶点都在球面上，则此球的表面积为”

Answer 1

一个四面体的所有棱长都为根号2，则四面体为正三棱锥，从顶点的垂线过底面三角形的中心，交外接圆于一点，此线段为外接球的直径，该点与相邻顶点的连线、棱长和直径组成直角三角形，正三棱锥底面三角形的中心到底面三角形顶角的距离=√2*√3/2*2/3=√6/3，它与三棱锥的高和棱组成直角三角形，则三棱锥的高=√(2-6/9)=2√3/3，以上两个直角三角形相似对应边成比例得：四面体外接圆直径为d，d/√2=√2/(2√3/3)，d=√3，则此球的表面积=4π(√3/2)²=3π。

Answer 2

解把该四面体放置在正方体中，则四面体的所有棱长的棱长即为正方体的面对角线，这正方体的边长为1，由四面体的四个顶点在同一球面上，即正方体的8个顶点也在该球面上，即正方体的体对角线是此球的直径，而正方体的体对角线为√3，球的表面积为s=4πr²=π（2r）²=π*（√3）²=3π

Answer 3

我才6年级啊~~~