高等数学问题:设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,求证:方程2x-∫(x,0) f(t)dt=1在(0,1)内有且只有一个实根

qldm123
2011-09-14 · 超过11用户采纳过TA的回答
知道答主
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设F(x)=2x-∫(x,0) f(t)dt-1,则问题转化为求F(x)在(0,1)内有无零点的问题。
又∵F(x)的导函数=2-f(x)且f(x)<1,故F(x)的导函数在(0,1)内大于零。
导函数单调,F(x)只能有一个零点。
又∵F(0)=-1,F(1)=1-∫(1,0) f(t)dt>1--∫(1,0) 1dt =0,区间端点函数值异号,根据连续函数性质,F(x)在(0,1)内必有一个零点。
得证。
lipiguang
2011-09-10
知道答主
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根的唯一性问题,固然想到应用罗尔定理
2x-∫(x,0) f(t)dt=1
2x+1=∫(x,0) f(t)dt
两边求导
你这积分的上下界是多少????
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2011-09-19 · TA获得超过268个赞
知道小有建树答主
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设F(x)=2x-∫(x,0) f(t)dt-1=0,
F(0)=-1 ,
F(1)=1-f(1)>0
且F‘(x)>0
得证
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