Question

已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1所成的角

Answer 1

图上已经画得很清楚了。
我们作BB1的中点D1，A1B1的中点D2，BC的中点D3，
连接D1D2D3可组成三角形D1D2D3，
有三角形中线定理可得，
A1B与D2D1平行，B1C与D1D3平行，
而A1B⊥CB1，所以D2D1⊥D1D3，
又因为三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱，
所以A1B=CB1，
D2D1=D1D3
所以三角形D1D2D3是等腰直角三角形。
所以D2D3=√2D1D2=√2D1D3，
设正三棱柱的高的长度为a，底边边长为b，
作B1C1的中点O，连接D2D3O得三角形D2D3O，
易知D3O=a，D2O=（1/2）b，且此时D3O⊥D2O
我们再作AA1的中点E1，A1C1的中点E2，AB的中点E3，
连接E1E2E3得三角形E1E2E3，连接E3D2E2得三角形E3D2E2，
而E3D2=a，E2D2=(1/2)b，且E3D2⊥E2D2，
所以E2E3=D2D3=√2D1D2=√2D1D3，
又因为三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱，
AC1=BA1=CB1，
所以E2E3=D2D3=√2D1D2=√2D1D3=√2E1E2=√2E1E3，
所以三角形E1E2E3也是一个等腰直角三角形，
E1E2与E1E3间的夹角亦为90度，
而E1E2与AC1平行，E1E3与A1B平行，
所以A1B与AC1所成的角是90度。