Question

函数f（x）=ax^2+bx+1(a,b为实数)，x为实数。当x大于0时，F（x）=f(x)，当x小于0时，F(X)= -f（x）

已知函数f（x）=ax^2+bx+1(a,b为实数)，x为实数。当x大于0时，F（x）=f(x)，当x小于0时，F(X)= -f（x）。
1、若不等式f(x)大于4的解集为x小于-3或x大于1，求F(x)的表达式。
2、在第一题的情况下，当x大于等于-1小于等于1时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围
3、设m*n小于0，m+n大于0，a大于0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于0

Answer 1

：（I）∵f′（x）=3ax2+2bx+c，f′（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤1}，
∴a＜0，且方程f′（x）=3ax2+2bx+c的两根为-2，1．
∴ {-2b3a=-1c3a=-2，即 {b=32ac=-6a，
f（x）=ax3+ 32ax2-6ax-1
∴f′（x）=3ax2+3ax-6a=3a（x2+x-2）=3a（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0得-2＜x＜1，令f′（x）＜0得x＜-2，或x＞1，
∴f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上是减函数，在（-2，1）上是增函数，
∴函数f（x）在x=-2有极小值，在x=1有极大值，
∵函数f（x）的极大值为0，∴f（1）=0，
∴a+ 32a-6a-1=0，∴a= 72；
（II）∵f′（x）+6a（x+1）≥0，∴3ax（x+3）≥0，
∵a＜0，∴-3≤x≤0，即x∈[-3，0]，
∵关于x的方程f（x）-ma+1=0有唯一实数解，
∴ax3+ 32ax2-6ax-ma=0（x∈[-3，0]）有唯一实数解，
∴m=x3+ 32x2-6x（x∈[-3，0]）有唯一实数解，
设u（x）=x3+ 32x2-6x（x∈[-3，0]），
∴u'（x）=3x2+3x-6=3（x+2）（x-1）（x∈[-3，0]），
令u'（x）＞0得x＜-2，或x＞1，
∴函数u（x）在[-3，-2]上是增函数，在[-2，0]上是减函数，
∴umax=u（-2）=10，又u（-3）= 92，u（0）=0，
∴当m=10或m∈[0， 92）时，直线y=m与函数u（x）（x∈[-3，0]）的图象有唯一公共点，
∴实数m的取值范围为m=10或m∈[0， 92）．

Answer 2

1、f（x）=ax^2+bx+1＞4
ax^2+bx-3＞0即ax^2+bx-3=0的解为-3、1且a＞0
可得f(x)=x^2+2x+1=F(x)
2、g(x)求导得2*x+2-k
因为x大于等于-1小于等于1，g（x）大于等于-k小于等于4-k
要使g(x)单调则-k、4-k
同为正或负
即k小于等于四大于等于零
或k大于四
即k大于等于0

Answer 3

ax^2+bx+1=4有两个根分别为-3和1；所以a=1，b=2，

Answer 4

第一个题是分段函数。