Question

高中数学 已知 a>1, 求证a^3>a+1/a-2

已知 a>1, 求证a^3>a+1/a-2

Answer 1

先将不等式两边同时乘以a得到a^4>a^2+1-2a（因为a>1，所以a>0）
移项得到a^4-a^2+2a-1>0
所以只要上式成立，原不等式就成立
因为a^4-a^2+2a-1=a^2（a-1）（a-1）+2（a-1/2）
而a>1,所以a-1>0，a-1/2>0所以a^4-a^2+2a-1>0
所以a^3-a+2-1/a>0
即a^3>a+1/a-2

Answer 2

两边同乘以a，移项可得原式等价于
a^4-a^2+2a>1等价于
a^4-2*a^2+1+a^2+2a+1>3等价于
(a^2-1)^2+(a+1)^2>3
因为a>1
所以a+1>2
所以(a+1)^2>4
又因为(a^2-1)^2>0
所以(a^2-1)^2+(a+1)^2>4>3

Answer 3

那个a^3 是a的三次方吧。。原谅我。。
要是是的话，你就直接可以证右边的式子恒小于零，左边的恒大于零
不等式就成立了

追问

老大，右边怎么可能恒小于0？