Question

已知各项均为正数的数列｛an}的前n项和为Sn,且6Sn=（an+1)(an+2),n为正整数，设数列｛bn}满足

an【｛2∧bn}-1】=1，记Tn为数列｛bn}的前n项和，求证2Tn+1<log2[an+3]

Answer 1

由6Sn=（an+1)(an+2),可知a1=1或者2，
(1)假设是1
继续代入可知a2=4，a3=7，a4=10
假设an=3n-2，利用数学归纳法可知an=3n-2符合条件（猜的，没算过，也许a1=2才是对的，如果a1=2才是对的，用一样的方法可以得出结论）
因为an【｛2∧bn}-1】=1，所以2^bn=（3n-1）/（3n-2）<1（分子比分母小），所以bn<0
所以Tn<0，又因为an=3n-2即an+3=3n+1>=4可知log2[an+3]>=2>1，2Tn+1<1
所以2Tn+1<log2[an+3]
(2)同理可知a1=2，a2=5，a3=8，a4=11时an=3n-1
一样的方法，应该也是符合条件的，就算a1=1或者a1=2有一个不符合也不影响（舍去就好）
有2^bn=3n/（3n-1）<1，所以bn<0
所以Tn<0，又因为an=3n-1即log2(an+3)=log2(3n+2)>2(n>=1)可知log2[an+3]>2>1，2Tn+1<1
所以2Tn+1<log2[an+3]