Question

已知函数f(x)=(2mx-m^2+1)/(x^2+1)(x∈R）求当m>0时，求函数f(x)的单调区间与极值

Answer 1

f(x)=(x^2+1)/(2mx-m^2+1)，(x€r)
f(x)导函数f'(x)=[(x^2+1)'(2mx-m^2+1)-(x^2+1)(2mx-m^2+1)']/(2mx-m^2+1)^2

=[2x×(2mx-m^2+1)-(x^2+1)×2m]/(2mx-m^2+1)^2

=[2mx^2-(2m^2-2)x-2m]/(2mx-m^2+1)^2

令f'(x)=0，则[2mx^2-(2m^2-2)x-2m]/(2mx-m^2+1)^2=0，mx^2-(m^2-1)x-m=0

b^2-4ac=[-(m^2-1)]^2-4m×(-m)

=m^4-2m^2+1+4m^2

=(m+1)^2

∴x={-[-(m^2-1)]±√(m+1)^2}/2m

∵m>0

∴x=(m+1)/2 或x=(m^2-m-2)/2m

又∵(m+1)/2-(m^2-m-2)/2m=(m+1)/m＞0

∴(m+1)/2＞(m^2-m-2)/2m

当f'(x)＞0时，x＜(m^2-m-2)/2m，x＞(m+1)/2

当f'(x)＜0时，(m^2-m-2)/2m＜x＜(m+1)/2

f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表

x | (-∞，(m^2-m-2)/2m) | (m^2-m-2)/2m | ((m^2-m-2)/2m，(m+1)/2) | (m+1)/2 | ((m+1)/2，+∞)

f'(x) | + | 0 | - | 0 | +

f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增

∴当x€(-∞，(m^2-m-2)/2m)时，f(x)单调递增

当x€((m^2-m-2)/2m，(m+1)/2)，f(x)单调递减

当x€((m+1)/2，+∞)时，f(x)单调递增

∴f(x) 单调递增区间为[-∞，(m^2-m-2)/2m]或[(m+1)/2，+∞)]

f(x)单调递减区间为[^2-m-2)/2m，(m+1)/2]

当x=(m^2-m-2)/2m有极大值f((m^2-m-2)/2m)= -(m^4-2m^3+4m+4)/(4m^3+4m^2)

当x=(m+1)/2有极小值f((m+1)/2))=(m^2+2m+5)/(m+1)

Answer 2

f'(x)=[2m(x^2+1)-2x(2mx-m^2+1)]/(x^2+1)^2
=-2[mx^2-(m^2-1)x-m]/(x^2+1)^2
=-2m(x-m)(x+1/m)/(x^2+1)^2,
m>0,
∴-1/m<x<m时f'(x)>0,f(x)↑；
x<-1/m或x>m时f'(x)<0,f(x)↓。
f(x)的极小值=f(-1/m)=-(m^2+1)/(1/m^2+1)=-m^2,
f(x)的极大值=f（m)=1.