Question

关于求抽象函数对称轴和周期的一题

设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图像关于什么对称？
答案是x=1 有什么解法？
重要：为什么不能用公式x=（x-1+1-x）/2 即用公式x=（a+b）/2

Answer 1

图形法
要得到y=f(1-x)，可将f(x)先反转（变为f(-x)），再向右平移1，[变为f(-(x-1))，即f(-x+1)]，而f(x-1)是将f(x)向右平移1。 所以是将同时向右平移1，得f（x-1）与 f（1-x），f(x)与f（-x）关于x=0对称，同时平移后关于x=1对称。

重点！！！！！！！！
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一般方法，解答楼主疑问。
求g(x)与h(x)对称性，是指对某x1与x2，使g(x1)=h(x2)，x1与x2的关系。
f（x-1）与f（1-x）是两个不同函数，这种形式容易让人迷惑，设 g(x)=f（x-1）,h(x)=f（1-x），则应使f（x1-1）=f（1-x2），即 x1-1= 1-x2, 所以有(x1+x2)/2=1,即关于x=1对称
x=（x-1+1-x）/2 是对一个函数 求对称轴，即对某 x1与x2，使 f(x1)=f(x2) （注意两个都是 f(x)），x1与x2的关系。
如y=x^2，x1^2= (-x1)^2，所以 [x1+(-x1)]/2=0.
对一个函数我们才用对称轴；对两个不同函数，我们只用关于什么对称。两个函数本身不一定有对称性，如y=x 和y=-x 都没对称轴，但关于x=0对称。
楼主只是被f（x-1）与y=f（1-x） 中的 同一个f 给搞混了

Answer 2

在f(-1+x)=f(1-x)时可用公式x=(a+b)/2，此情况是关于一个函数本身的对称问题；
在y=f(-1+x)，y=f(1-x)时应列-1+x=1-x，再解得x=1,此情况是关于两个函数的对称问题

追问

你能不能帮我看下你后面两个评论那个“热心网友”说的，我感觉他讲的那方法有道理但又怪怪的

追答

看了，比较纠结，“当t=0时，f(t)=f(-t)，即f(t)关于t=0对称，t=0时，x=1，即f（x-1)与f(1-x)关于x=1对称”这是他直接给的结论，至于引入t，大概是看着清楚一点，个人觉得没必要；
“是因为y=f（x-1），y=f（1-x）自变量相当于是x-1和1-x”他是想说这是两个函数；
“则用公式t=（a+b）/2=0，求出x-1=0，x=1.”这就不懂了、、、
个人认为记住当f(x+a)=f(-x+b)时，用
x=(x+a-x+b)/2；当y=f(x+a),y=f(-x+b)时，由x+a=-x+b得x=(b-a)/2即可，至于理解记忆，呃，你努力吧。。。

Answer 3

设1-x=t，则f(1-x)=f(t),f（x-1)=f(-t),当t=0时，f(t)=f(-t)，即f(t)关于t=0对称，t=0时，x=1，即f（x-1)与f(1-x)关于x=1对称。不能用公式x=（x-1+1-x）/2，是因为y=f（x-1），y=f（1-x）自变量相当于是x-1和1-x公式x=（a+b）/2求出的当于x-1的值，可设1-x=t，则f(1-x)=f(t),f（x-1)=f(-t),则用公式t=（a+b）/2=0，求出x-1=0，x=1.
不知道这么讲你是否可以理解

追问

不能用公式x=（x-1+1-x）/2是因为求出的当于x-1的值
那公式f(a+x)=f(b-x)对称轴为x=（a+b）/2求出的是a+x的值？

Answer 4

首先你需要明白的是f(x)与f(-x)是关于y轴对称的。由此你可以将f(1-x)看作f(-(x-1)),那么此时根据“左假右减”的原则两个函数都可以看作是向右平移一个单位得到的，因此两函数关于x=1对称，你可以作图帮助理解。至于你的问题，你的这种方法只能用于同一个函数，此题中是两个函数，所以不能使用你的方法。

Answer 5

，周期为-2a. 仅知道抽象函数的有限条对称轴是推不出周期的；反过来不行，因为周期函数不一定是轴对称的啊。