Question

一道关于周期函数的对称轴的题

f(x+2)=-f(x)，f(x)是奇函数，求f(x)的对称轴，老师说是直线x=1+4k,(k属于Z)因为f(x)周期为4 ，但我觉得直线x=1+2k(k属于z)就可以了，求助
和老师完全说不通，硬是要我拿出证明来。。

Answer 1

你是对的，f(x)的对称轴为x=2k+1,k∈Z
过半周期对称轴就出现一条
【本题证明】
∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
又∵f(x+2)=-f(x)
∴f(x+2)=f(-x)
将x换成-1+x得：
f(1+x)=f(1-x)
∴f(x)图像关于直线x=1对称
∵f(1+x)=-f(3+x)
f(1-x)=-f(3-x)
∴f(3+x)=f(3-x)
∴f(x)图像关于直线x=3对称
f(5+x)=f(1+x)
f(5-x)=f(1-x)
∴f(x)图像关于直线x=3对称
当k为偶数时，f(1+x)=f[(2k+1)+x]
f(1-x)=f[(2k+1)-x]
∴f[(2k+1)+x]=f[(2k+1)-x]
当k为奇数时，f(1+x)=-f[(2k+1)+x]
f(1-x)=-f[(2k+1)-x]
∴f[(2k+1)+x]=f[(2k+1)-x]

即是总有f[(2k+1)+x]=f[(2k+1)-x]

∴f(x)的对称轴为x=2k+1,k∈Z

追问

太感谢了，有点疑问，就是将x换成-1+x这里理由是什么？是换元吗？还有最后为什么要说明当k是奇数和偶数？

追答

f(x+2)=f(-x)中x是任意实数，只要将x位置换成同一个实数式，等式仍然成立

2是半周期，4是周期
k为奇数时，f(2k+x)=-f(x)
k为偶数时，f(2k+x)=f(x)

追问

嗯，懂了，请问这里为什么要强调当k是偶数和奇数呢？没有这段行吗？

追答

这是证明问题，要严密。
k是偶数和奇数推导的过程不一样
最后的结论相同，必须分开。

前面证明了x=1是对称轴，
推出x=3,x=5都是特殊情况，
后面的是一般情况，要舍去的话，
你可以将x=3,x=5的证明去掉。

Answer 2

f(x)是奇函数，说明f(x)本身是没对称轴的，f(x)周期为4，相对的，对称轴周期也为4 。

当直线x=1+2k时，有一半直线在f(x)本身内，而f(x)是奇函数，奇函数是原点对称，不是轴对称，
所以当f(x)周期为4时，老师说是直线x=1+4k,(k属于Z)是对的。