Question

线性代数 证明

Answer 1

设A为n阶方阵,由于A可逆,故存在初等阵P1,P2,...,Pi, 和Q1,Q2,...,Qj
使P1P2...PiAQ1Q2...Qj = E.
记P1,P2,...,Pi=P, Q1,Q2,...,Qj =Q.
则有PAQ = E, 从而A =(P逆)(Q逆) 或 A逆= QP. (1)
现构造2n阶方阵(并分块)
R = P 0
0 E
和 S= Q 0
0 E

记原题中的 A E
E 0 为 T,
原题中的 E C
B 0 为 W
则有:RTS = PAQ P
Q 0
注意到PAQ = E, 即有:
PTS = E P
Q 0.
即已经将T变为所指形式.
令PTS= W, 比较知:P=C, Q= B
由(1)式得:A逆= QP = BC
命题得到证明.

Answer 2

这个结论是错的
对于矩阵
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
可以通过行或列变换变为
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
此时A^-1显然不等于BC

楼上的证明有漏洞

事实上，对于任何可逆的A，B，C都可以通过行和列变换由原形式变成目标形式