Question

高一数学简单的函数问题，求这类题目的解题思路

1、f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9求f(x)
2、已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式
3、已知f(x+1)=x²+4x+1,求f(x)的解析式

Answer 1

1、f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9求f(x)
解：∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)=kx+b，那么依已知条件有等式：
3f(x+1)-f(x)=3[k(x+1)+b]-(kx+b)=3kx+3k+3b-kx-b=2kx+3k+2b=2x+9，
于是有2k=2，得k=1；3k+2b=3+2b=9，故b=3.
∴f(x)=x+3.
2、已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式
解：∵f(x)是二次函数，∴可设f(x)=ax²+bx+c，于是依条件有等式：
f(0)=c=0，即有c=0；
f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=2ax+a+b=2x，故2a=2，即a=1；a+b=1+b=0，故b=-1.
于是得解析式为：f(x)=x²-x.
3、已知f(x+1)=x²+4x+1,求f(x)的解析式
解一：f(x+1)=x²+4x+1=(x+1)²+2(x+1)-2； [经过恒等边形，使原表达式中的自变量x变为(x+1)]
把上式中的x+1换成x，即得解析式为 f(x)=x²+2x-2.
解二：设x+1=u，则x=u-1，代入原式得f(u)=(u-1)²+4(u-1)+1=u²+2u-2
再把u换成x，即得解析式为：f(x)=x²+2x-2.