Question

三道高一数学一元二次不等式问题，求解！

1. 若不等式ax^2＋5x＋b＞0的解集为 1/3＜x＜1/2，求a，b的值
2. 不等式（a－2）x^2－2（a－2）x－4＜0的解为全体实数，求实数a的范围
3. 若不等式mx^2＋（m＋1）x＋1＞0的解为全体实数，求m的取值范围

Answer 1

1、因为1/3＜x＜1/2，所以可得ax^2＋5x＋b=0的解为{1/3，1/2}，将1/3，1/2分别代入得
(1/9a+5/3+b=0 1/4a+5/2+b=0),联立解得{a=-6,b=-1}
2、第一种情况：当a=2，则符合x属于全体实数
第二种情况，当a不等于2。因为c=-4小于0，所以由函数图像可推出，当a-2小于0即a小于2，且同时满足Δ小于0（即[2(a-2)]^2-4(a-2)(-4)<0 可解得-2<a<2）x属于全体实数，综上所述：-2<a≤2
3、因为a=m b=m＋1 c=1
所以Δ=（m＋1）^2-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2
又因为(m-1)^2大于或等于0所以，函数y=mx^2＋（m＋1）x＋1必和x轴有交点，因此不存在一个值m使得当x取任意实数时mx^2＋（m＋1）x＋1＞0。所以，m属于空集

Answer 2

1，可知方程ax^2＋5x＋b=0的两个根为1/3，1/2，且a<0,所以a(x-1/2)(x-1/3)=0,
所以a(-1/2-1/3)=5,a*(1/2)*(1/3)=b,
解得a=-6,b=-5
2,分两种情况讨论，
（1）a-2>0,（2）a-2<0,此时要判别式小于零，
则有[2(a-2)]^2-4(a-2)(-4)<0,解得-2<a<2,
所以-2<a<2。
3，这一题跟第二题类似，
（1）当m>0时，此时只需判别式小于零，则不等式解集为全体实数，
则有（m+1)^2-4m<0,此不等式无解，
故此时不存在m使得原不等式的解为全体实数；
（2）当m<0时，此时二次函数图象开口朝下，可知解集不可能是全体实数；
所以不存在满足条件的m。