Question

函数F(X)=X²＋8／X。证明：当a＞3时，关于X的方程F﹙X﹚＝F﹙a﹚有三个实数解

Answer 1

解：（1）f1(x)为二次函数，∴y1=ax2+bx+c经过顶点(0,0)和点(1,1)
将顶点(0,0)和点(1,1)分别代入y1=ax2+bx+c中，得：
c=0
1=a+b ∴b=1-a
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b2)/4a）
∴-b/2a=0且(4ac-b2)/4a=0（将c=0、b=1-a代入式子中）
得：a=1，b=0
∴f1(x)=x2

f2(x)为反比例函数且与直线y=x有两个交点，∴设两交点为(x,x),(-x,-x)
用两点距离公式=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]，得：
∴x=2√2
∴两交点分别为点(2√2,2√2),点(-2√2,-2√2)
将点(2√2,2√2)代入y=k/x中，得k=8
∴f2(x)=8/x

∴f(x)=f1(x)+f2(x)=x2+(8/x)（x≠0）

（2）移项得
x2+8/x-a2-8/a=0
(x-a)(ax2+a2x-8)/(ax)=0
即(x-a)(ax2+a2x-8)=0
x=a是一个解
下面看ax2+a2x-8=0
判别式Δ=a^4+32a=a(a3+32)
因为a>0 所以a(a3+32)>0即Δ>0
所以ax2+a2x-8=0有两个实数解
综上所述当a>3时,关于x的方程x2+8/x=a2+8/a有三个实数解

Answer 2

设h(x)=F﹙X﹚- F﹙a﹚=X²＋8／X- a²-8／a
h'(x)=2x-2a-8/x^2-8/a^2=0
a^2*x^2(x-a)=4(a^2+x^2)
(a^2)x^3-(a^3+4)x^2-4a^2=0
设g(x)=(a^2)x^3-(a^3+4)x^2-4a^2
g'(x)=3(a^2)x^2-2(a^3+4)x 有两个根，x=(2(a^3+4))/3(a^2)时，g(x)大于0
h(x)=F﹙X﹚- F﹙a﹚=X²＋8／X- a²-8／a有三个根
关于X的方程F﹙X﹚＝F﹙a﹚有三个实数解