Question

高中一元二次不等式

已知不等式ax^2+bx+c<0的结尾2<X<3,球不等式CX^2-BX+A>0的解
已知关于X的一元二次不等式，AX^2+(A-1)X+A-1<0的解为全体实数，求A的取值范围
已知一元二次不等式（(m-2)x^2+2(m-2)x+4>0的解为全体实数，求M的取值范围
若关于X的方程X^2+ax+a^2-1=0有一正根和一负根，求A的取值范围

Answer 1

先求一问，
解：由题意，得x=2或x=3是方程ax^2+bx+c=0的解，且a>0.
故，有4a+2b+c=0,9a+3b+c=0;
解，得c=6a,b=-5a
带入CX^2-BX+A>0
得，6ax^2+5ax+a>0,因a>0,有
6x^2+5x+1>0
解得，x<-1/2或x>-1/3

Answer 2

不同于上楼的方法：1、已知不等式ax^2+bx+c<0的结果2<x<3，易知y=ax^2+bx+c是一条开口向上，与y轴正半轴相交的抛物线，故a>0，c>0，令A=a/c，B=b/c，则Ax^2+Bx+1<0的结果是2<x<3，故2和3都是方程Ax^2+Bx+1=0的解，故有二元一次方程组：4A+2B+1=9A+3B+1=0，解得A=1/6，B=－5/6，不等式cx^2－bx+a>0的解即x^2－Bx+A>0的解，即x^2+5/6x+1/6>0，解得x<－1/2或x>－1/3
2、依题意，y=AX^2+(A-1)X+A-1的图像完全在x轴下方，故A<0，顶点值(3A+1)(A－1)/4A<0，解不等式组得A<－1/3
3、道理同2，依题意，(m－2)x^2+2(m－2)x+4的图像完全在x轴上方，故m－2>0，m>2，顶点值6－m>0，解不等式组得2<m<6
4、这是经典的数形结合题，y=x^2+ax+a^2-1的开口显然向上，要它有一正根一负根，只需y(0)=a^2－1<0即可，解得－1<a<1