Question

已知函数f(x)的定义域为(-1,1),f(1/2)=-1,当且仅当0<x<1时,f(x)<0,且对任意x,y∈（-1,1）

都有f（x）+f（y）=f[(x+y)/1+xy]，试证明，
（1）f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（-1,1）上单调递减。
f（x）+f（y）=f[(x+y)/(1+xy)]，

Answer 1

（1）f（x）+f（-x）=f[0／（1-x²）]=f（0）
又f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0
故f（x）+f（-x）=0
即f（x）=-f(-x)
故f（x）为奇函数
(2)显然要求单调递减的话，则只需求证x＞0是递减即可（由于是奇函数）
采用定义法
任取x1，x2∈[0，1﹚且x1＞x2
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f[（x1-x2）/（1+x²）]
由于x1，x2∈[0，1﹚且x1＞x2
所以1＞（x1-x2）/（1+x²）＞0
因为当且仅当0<x<1时,f(x)<0
所以f[（x1-x2）/（1+x²）]＜0
即f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）
又因为f（x）是奇函数
所以f（x）在（-1，0）上也是单调递减
故f(x）在（-1，1）上单调递减

Answer 2

解（1）f（0）+f（0）=f[0/（1+0）]所以f（0）=0.
令y=-x，则有f（X）+f(-x)=f[(x-x)/(1-x^2)]=f(0),所以f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数。

(2)任取X1>X2, 其中X1，X2∈(0，1），所以X1X2∈(0，1），1-X1X2∈(0，1），
1/1-X1X2∈(0，1).
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f[（x1-x2）/（1-x1x2）]
有条件知，f（X1）<f（X2）,即在（0，1）为减函数。
由于函数f（x）为奇函数，所以在(-1,0]
也为减。
是不是还有第3问，怎么还有个条件没用到啊。

Answer 3

解:
令x=1,y=0，即f(1)+f(0)=f(1),所以解得，f(0)=0
又令y=-x.即f(x)+f(-x)=f(0)=o，移项得到f(x）=-f(-x),所以为奇函数
（2）解：在（0，1）上任意取得a ,b ,且a大于b大于0小于1，
已知数F（ x)小于0，又因为这个函数是奇函数（前面已证），所以f(b)=-f(-b)
f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f[(a-b)/(1+ab)] a-b大于0，1+ ab也大于0 ，即(a-b)/(1+ab)大于0小于1，
所以f[(a-b)/(1+ab)]小于0，即f(a)-f(b)小于0，移项即可得f(a)小于f(b),又因为前面已经规定a大于b 所以f(x)在（0，1）上单调递，又已经求得f(x)在（-1，1）为奇函数，所以得出F(x)在（-1，1）上为递减函数

Answer 4

4kl