Question

已知通解求特解

地

Answer 1

解：∵通解y=Ce^[∫p(x)dx]=Ce^[∫<0,x>p(t)dt] (∫<0,x>表示从0到x积分)
又当x=x0时，y=y0
∴y0=Ce^[∫<0,x0>p(t)dt]
==>C=y0*e^[-∫<0,x0>p(t)dt]
==>y=Ce^[∫p(x)dx]
={y0*e^[-∫<0,x0>p(t)dt]}*e^[∫<0,x>p(t)dt]
=y0*e^[-∫<0,x0>p(t)dt+∫<0,x>p(t)dt]
=y0*e^[∫<x0,0>p(t)dt+∫<0,x>p(t)dt]
=y0*e^[∫<x0,x>p(t)dt]
故 在给出的初始条件下的特解是 y=y0*e^[∫<x0,x>p(t)dt]。

追问

谢谢你 . 解得好漂亮
通解y=Ce^[∫p(x)dx]=Ce^[∫p(t)dt] 这一步
是不是由
g(x)=∫f(t)dt
g`(x)=f(x)
∫g`(x)dx=g(x)=∫f(x)dx=∫f(t)dt
这样得来的 是吗?

追答

可以像你那样理解。你要记住：可以把不定积分∫p(x)dx看成变上限的定积分∫p(t)dt！今后遇到类似题目就很方便求解。

追问

下限为什么是0呢?

追答

也可以不是0，可以是其它常数，这要根据情况。正因为存在积分常数可变性，所以这才叫做不定积分。