Question

若不等式x²+2+｜x³﹣2x｜≥ax对x∈（0，4）恒成立，则实数a的值为

Answer 1

解：由x∈（0，4）得
不等式左边=y=x²+2+｜x³﹣2x｜=x²+2+｜x(x²﹣2)｜=x²+2+x(x+√2)| (x-√2)｜
1）当x∈（√2，4）时
y=x²+2+x(x+√2)(x-√2)=x³+x²-2x+2
用导数求最值
y‘=3x²+2x-2=3(x+1/3)²-7/3
当x∈（√2，4）总有y'>0
故y在指定区间内为增函数
ymin=f(√2)=4
当a>0时，有ax∈（√2a，4a）
此时，有
4a≤4
即0<a≤1
使得结论成立
当a<0时，有ax∈（4a，√2a）
此时，一定有
ax≤4
即a<0时，结论成立
显然当a=0时，结论也成立
综上所述，当a≤1时，结论成立
2 当x∈（√2，2]时，有
y=x²+2+x(x+√2)(√2-x)=-x³+x²+2x+2
y‘=-3x²+2x+2=-3(x-1/3)²+7/3<0
在整个区间内为减函数
y(√2)=4，y(2)=2=ymin
若a>0,则ax∈（√2a，2a]
要使题设成立，则
2a≤2
0<a≤1
显然当a≤0时也成立
故a≤1

Answer 2

因为x∈（0，4）为正，所以两边同时除以x化为 x+2/x+|x²-2|≥a。求出左边的式子的范围即为a取值。观察式子易知，x+2/x≥2根号下2，当且仅当x=根号下2 同时x=根号下2时，绝对值里面的函数整好为0，为最小，因此左式最小值为2倍根号2，因此只需a小于这个最小值即可，a的取值范围为（-∞，2倍根号下2】