Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a，b，c为常数)满足条件：(1)图象经过原点；

(2)f(-x+5)=f(x-3)；(3)方程f(x)=x有等根。试求f(x)的解析式。。。求详解、

Answer 1

根据第1条件：图像经过原点，说明c=0，则f(x)=ax^2+bx；
根据第3条件：f(x)=x有等根，即ax^2+bx=x有等根，即x(ax+b-1)=0有等根，显然x=0是该等式的其中一个根，因此若要使ax+b-1=0的根也为0，那么b-1=0应该恒成立，因此b=1。此时f(x)=ax^2+x；
根据第2条件：f(-x+5)=f(x-3)，当x=3或x=5时，有f(2)=f(0)=0，将x=2带入f(x)=ax^2+x=0可得4a+2=0，因此a=-0.5。
因此，f(x)的解析式为f(x)=-0.5x^2+x。