Question

设有一四位数的正整数ABCD，乘以4后这个数会颠倒，即ABCD×4=DCBA，求原来ABCD这个四位数。

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Answer 1

abcd×4=dcba
∴4d=a或10+a或20+a或30+a (∵4×9=36，所以，4d的最大值就是36）
又因为4a=d，而1<d<9
∴a只可能为1或2，对应d只能是4或8
当a=1时，4d=a不可能成立（因为4的倍数中没有个位为1的）
所以，a只能是2，则4d=a成立，只有d=8
则，4c+3=b或10+b或20+b或30+b (3是4d十位进位数）
又因为4a=d
所以，4b+X=c (x为4c+3的十位进位数，此时，C必须小于等于9，否则，就要进位到千位，则不成立了）
∵0≤c≤9，0≤b≤9，0≤X≤3
∴b只能是0，1，2
所以，既要满足4c+3的个位等于b，又要满足4b+X的个位等于c
b只能是位1 （因为1-3=2，而0-3=3，2-3=1均不在4的倍数范围内）
所以，c只能是2或7 （因为，8+3=11）
如果c=2
2128×4=8512，不成立
所以，c只能为7
2178×4=8712
所以，这个四位数为2178

Answer 2

4乘任意整数其个位数只能是0，2，4，6，8。因ABCD×4还是4位数，因此A只能是1或2，又A是D×4所得个位数，因此A=2。这样D只能为3或8（只有3×4或8×4的个位数是），又ABCD×4=DCBA，所以，因此D>=4,所以D=8.这样B×4不能大于10，级B只能取0，1，2三者之一。
取B=0，1，2试算，得b=1,c = 7,所以ABCD= 2178.