Question

已知椭圆x^2/25+y^2/9=1,F1,F2分别为其左右焦点,点P为椭圆上任意一点，

1）点M满足向量OM=2向量OP，求M的轨迹方程
2）求角F1PF2最大值的余弦值

Answer 1

解：1）设点M坐标为(x,y)
由题意点P为椭圆x^2/25+y^2/9=1上任意一点，则：
可设点P坐标为：(5cosa，3sina）
因为向量OM=2向量OP，且向量OM=(x,y)，向量OP=(5cosa，3sina）
所以(x,y)=2(5cosa，3sina）＝(10cosa，6sina）
则x=10cosa，y=6sina
即cosa=x/10，sina=y/6
又sin²a+cos²a=1
则x²/100 +y²/36=1
这就是点M的轨迹方程。

2）设| F1P |=m，| F2P |=n
则由椭圆的定义可知m+n=2a
又由椭圆方程得：a=5,c=4
则m+n=2a=10且焦距|F1F2|=2c=8
在△PF1F2中，由余弦定理得：
cos∠F1PF2=(m²+n²-|F1F2|²)/(2mn)
=[(m+n)²-2mn-64)/(2mn)
=(36-2mn)/(2mn)
=18/(mn) -1
由均值定理m+n=10≥2√(mn) (当且仅当m=n=5时取等号)
即当m=n=5时，mn有最大值25
所以此时cos∠F1PF2取得最小值为18/25 -1=-7/25，
对应的∠F1PF2取得最大值
所以角F1PF2最大值的余弦值-7/25