Question

设点F1.F2分别为椭圆X^2/25+Y^2/9=1的左右焦点，P为椭圆上任意一点，点M坐标为6，4 则 PM+PF1的最大值多少

设点F1.F2分别为椭圆X^2/25+Y^2/9=1的左右焦点，P为椭圆上任意一点，点M坐标为6，4 则 PM+PF1的最大值多少 求高手啊

Answer 1

由题意易得a=5；b=3；c=4 F2的坐标是(4,0)
∴椭圆有准线方程是x=a^2/c=25/4
∵P为椭圆上的点
∴有椭圆第一定义PF1+PF2=2a=10
故PM+PF1=PM+10-PF2=PM-PF2+10
欲使PM+PF1最大，只要使PM-PF2最大即可
①当P点不在直线MF2上时
P、M、F2三点形成三角形，由两边只差小于第三边知PM-PF2<MF2 (PS:有两点距离公式知
MF2=√[(6-4)^2+(4-0)^2]=2√5

②当P点在直线MF2上时,P点有两个位置，一个是在线段MF2上，即直线MF2与椭圆在x轴上方的交点，此时依然是PM-PF2<MF2 ；另一个是在线段MF2外，即直线MF2与椭圆在x轴下方的交点，此时F2在P点和M点之间，PM-PF2=MF2
∴当P在椭圆上运动时，PM-PF2的最大值是2√5，此时PM+PF1=PM-PF2+10取最大值10+2√5

综上，PM+PF1的最大值是10+2√5