Question

函数Y=2x^3-3ax^2+(a^2+2)x-a，函数仅有一个零点，求a的取值范围

Answer 1

无语了，还有问只有一个零点什么意思的。。。
零点是函数与x轴的交点。

题目是说这个曲线跟x轴只有一个交点。
显然这是条三次曲线。函数的值域必定是（-无穷，+无穷），所以函数必定有零点，下面就是分析零点只有一个的问题了。

要解这道题，除了运用导数，我还真是没想到其他有什么办法。。不晓得你学过没有

首先求一阶导数，y'=6x^2-6ax+a^2+2
y'=0的解决定了函数的极值点。讨论一下这个方程的解的个数：
1.y'=0无解，即上述方程的判别式<0 .即：36a^2-24(a^2+2)<0 （1）
此时曲线没有极值点，y'=6x^2-6ax+a^2+2=0无解，
所以这条抛物线恒为正，也就是说原函数在实数R上严格单调递增，这样显然y=0就只有一个解，是符合题意的。
此时解（1）式可得：a属于（-2,2）

2.y'=0有且仅有一个解，即判别式=0，此时的a=-2或者2
设此时x=x0，那么在x0两边，y'仍然是大于0的，(y'是一跳抛物线，只有一个零点，表明y'与x轴相切)。说明曲线在x0两边仍然是递增的，x0是曲线的一个拐点，但并不是极值点。y'在R上非负，说明曲线在R上单调递增，只有一个零点仍然是成立的。

3.y'=0有两个不同的解，此时判别式>0，a<-2或者a>2。
这种情况是最复杂的，设y'=0的两个解是x1，x2. (x1<x2)
则y'在（-无穷，x1）和（x2，+无穷）为正，在（x1，x2）上为负，
y在（-无穷，x1）和（x2，+无穷）上都是单调递增的，在（x1，x2）上单调递减
x1是曲线的极大值点，x2是曲线的极小值点。
要使得曲线只有一个零点，就有两种情况。（记y=f（x））
（1）x=x2时，y=f（x2）>0. 这样曲线在（x1，x2）和（x2，+无穷）上恒为正，曲线的零点就位于（-无穷，x1）上。此时f（x1）>f(x2)>0
（2）x=x1时，y<0,这样曲线在（-无穷，x1）和（x1，x2）上恒为负，曲线的零点在（x1，+无穷）上。此时f（x2）<f(x1)<0.
综合（1），（2），只需使x1，x2是方程y'=0的两个解，并且f(x1)*f(x2)>0即可。
一种方法是直接代入f(x1)*f(x2)，利用一元二次方程根与系数关系来化简求解。但这样做，运算量太大了。
我们首先利用f’（x）=0，推出6x^2-6ax+a^2+2=0，从而x^2=ax-(a^2+2)/6
代入f（x）化简可得到f（x）=（4-a^2）*(2x-a)/6
从而f(x1)*f(x2)=（4-a^2)^2*(2x1+a)*2(x2+a)/36=[(4-a^2)^2/36]*[4x1*x2-2a(x1+x2)+a^2]
再根据x1、x2是方程y'=0的两根，利用根与系数关系代入上式，
则f(x1)*f(x2)>0即为 【(4-a^2)^2/36】*（4-a^2)/3>0
得到-2<a<2. 这与前面说的y‘=0有两个不同的解想矛盾，所以这种情况不成立。
综上述，a的取值范围为[-2,2]

得到这个结果，不禁让我回过头来想了，
首先一点，我们讨论了这么多情况，最终得到这样的一个结果，我们何不从反面来考虑一下呢，
排除一些不符合题意的情况，其反面就是符合题意的a的取值范围了。
不符合的题意的情况无非两种：1。曲线有三个零点，也就是f(x1)>0,f(x2)<0.
2.曲线有两个零点，此时上面的两个极值点在某一个点处y=0.
也就是说问题的反面就是f（x1）*f（x2）<=0,且判别式>0.这样处理起来就稍微简单点，但计算还是难免有点复杂。

对于题目中的结果，有什么启发呢？
第三种情况无论怎样都不符合题意，只有前两种符合，计算量这么大最终只得到这样的结果不禁有些失望，第三种情况“白算”了。。让我想起方程是不是有些什么特点呢？
回头来看看曲线方程。
Y=2x^3-3ax^2+(a^2+2)x-a
经过一番仔细观察和尝试，我发现此方程可以因式分解为：
Y=2x^3-3ax^2+(a^2+2)x-a
=2x^3-3ax^2+a^2*x+2x-a
=x*(2x-a)*(x-a)+(2x-a)
=(2x-a)*(x^2-ax+1)
....
这说明了曲线必定有一个零点是a/2。
根据题意，x^2-ax+1=0至多只有一个解，并且这个解只能是a/2
从而分两种情况讨论，1.无解，就是判别式<0.此时a在（-2,2）内取值
2.有两个相同的解，并且为-a/2. 判别式=0时，a=2或者-2.
经验证：a=2时，其解正好为1；a=-2时，其解正好为-1
说明此时曲线是只有一个零点的。
这样也可以很快得到跟前面一样的结论了。

Answer 2

只有一个零点，这句话不好理解，是只有一个解，这个解为0，还是，只有当X=0时，Y=9？？