Question

一道高中数学不等式证明题： (1)证明：当a>1时，不等式a^3+1/a^3>a^2+1/a^2成立。

(1) 证明：当a>1时，不等式a^3+1/a^3>a^2+1/a^2成立。
(2) 要使上述不等式成立，能否将条件a>1适当放宽？若能，请放宽条件并说明理由。若不能，也请说明理由
(3) 请根据（1）（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明

(1)、(2)都不用证明了，只要第三题的解题过程，越一般的越容易被采纳，还会加悬赏！越快越好！

Answer 1

推广的一般形式为：
当a>0且a≠1时，对任意实数x,y, x>y, x+y>0, 证明：a^x + 1/a^x > a^y + 1/a^y.
证：a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) = (a^x - a^y)(1- 1/(a^(x+y)))
当0<a<1时，a^x - a^y<0, 1- 1/a^(x+y)<0, 则a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) >0;
当a>1时，a^x -a^y >0, 1 - 1/a^(x+y) >0, 则a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) >0.
所以a^x + 1/a^x > a^y + 1/a^y.

Answer 2

后来2^10=1024

Answer 3

要“一般化”结论的话，就是试图把原式中确定的常数推广到变量，当然要有附加条件。
这里解决（2）之后发现条件里的"a>1"不能放宽限制，那么就看不等式里的3和2。
两者最直观最一般的关系是3比2大。那么试图提出更一般性的结论：
当a>1且m>n时，不等式a^m+1/a^m>a^n+1/a^n成立。
证明：通分整理，得到（a^(m+n)-1)(a^m-a^n)>0。后面因子恒大于0，那么要求前面因子恒大于0。很明显条件就是m+n>0。这样最一般的结论就是：
设m，n为满足m>n，m+n>0的实数，那么当a>1时，不等式a^m+1/a^m>a^n+1/a^n恒成立。

Answer 4

对于任意实数a>0,不等式成立？
还是对于任意实数a>0,m>n>1有a^m+1/a^m>a^n+1/a^n?
本人初中，不知LZ要哪个证明？？？？？我可以试下