Question

已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a的立方+b的立方+ab-a的平方-b的平方=0

Answer 1

由a³+b³+ab-a²-b²=0，
（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
∵a²-ab+b²
=a²-2ab+b²+ab
=（a-b）²+ab≠0，
∴a+b--1=0，即a+b=1，
∴a³+b³+ab-a²-b²=0是a+b=1的充分条件，
当a+b=1成立时，可推得a³+b³+ab-a²-b²=0成立，
∴a³+b³+ab-a²-b²=0成立是a+b=1的必要条件。