Question

已知f（x）=2+log(3)x,求函数y=[f(x)]^2+f(x^2),x∈[1/81,9]的最大值与最小值。

Answer 1

y=[f(x)]²+f(x²)=[2+log(3)x]² + 2 + log(3)x²
=4 + 4log(3)x + [log(3)x]² + 2 + 2log(3)x
=[log(3)x]² + 6 log(3)x +6
=[log(3)x + 3]² - 3
若令log(3)x=t，则y=f(t)=(t+3)² - 3，
因为x∈[1/81,9]，所以log(3) 1/81 ≤ t ≤ log(3) 9
即-4 ≤ t ≤ 2，
显然，由y=f(t)知，关于t的一元二次函数开口向上，且对称轴为t=-3∈[-4, 2]
所以Ymin=f(t)min=f(-3)= - 3 （t=-3, 即log(3)x = - 3，即x=1/27时，y取得最小值）
Ymax=f(t)max=f(2)= 22 （t=2, 即log(3)x =2，即x=9时，y取得最大值）

Answer 2

解：f(x^2)=2+2log(3)=2f(x)-2 则y=[f(x)+1]^2-3 当f(x)=-1时y可取得最小值
(但是这时x符合范围吗?)算得f(1/27)=-1 1/81<=1/27<9 可见最小值-3
最大值就将端点值代入比较即可，算得最大值y(9)=22