Question

设函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1,a<-1,如果对任意x1,x2∈（0，∞），|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=(a+1)/x+2ax=(a+1+2ax^2）/x,
对任意x1,x2∈（0，∞），都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，
∴|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|>=4,
∴|f'(x)|>=4,x>0,
∴|a+1+2ax^2|>=4x,
∴a+1+2ax^2>=4x,或a+1+2ax^2<=-4x,
∴a>=(4x-1)/(2x^2+1),或a<=-(4x+1)/(2x^2+1).
设g(x)=(4x-1)/(2x^2+1),则
g'(x)=[4(2x^2+1)-4x(4x-1)]/(2x^2+1)^2
=[4+4x-8x^2]/(2x^2+1)^2
=4(1-x)(1+2x)/(2x^2+1),
0<x<1时g'(x)>0,g(x)↑；x>1时g'(x)<0,g(x)↓。
∴g(x)|max=g(1)=1.
设h(x)=(4x+1)/(2x^2+1),则
h'(x)=[4(2x^2+1）-4x（4x+1)]/(2x^2+1)^2
=4(1-x-2x^2)/(2x^2+1)^2
=4(1+x)(1-2x)/(2x^2+1)^2,
仿上，h(x)|max=h(1/2)=2,
∴a>=1,或a<=-2.