Question

设a>0,函数f(x)=x+a^2/x,g(x)=x-lnx,若对任意x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,则实数a的取值范围为

Answer 1

1<=x<=e时，g'(x)=1-1/x=(x-1)/x>=0、f(x)递增，最大值为f(e)=e-1。
f'(x)=1-a^2/x^2=(x^2-a)/x^2
1)当0<a<1时，f(x)在区间[1,e]上递增，最小值为f(1)=1+a^2。
1+a^2>=e-1、√(e-2)<=a<1。
2)当1<=a<=e时，f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(a)=2a。
2a>=e-1、a>(e-1)/2、取1<=a<=e。
3)当a>e时，f(x)在区间[1,e]上递减，最小值为f(e)=e+a^2/e。
e+a^2/e>=e-1、a^>-e，取a>e。
综上所述，实数a的取值范围是：[√(e-2),+无穷)。