Question

已知函数f（x）=x+（a^2）/x，g（x）=x+lnx，其中a＞0.

已知函数f（x）=x+（a^2）/x，g（x）=x+lnx，其中a＞0.（1）求经过原点且与g（x）的图像相切的直线方程：（2）若对任意的X1，X2属于[1,e]（e为自然对数的底数）都有f（X1）≥g（X2）成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)依题意，得：g'(x)=1+1/x设所求的直线方程为y=kx由题意，知：原点不是切点∴k=y0/x0=1+1/x0∴y0=x0+1又x0+lnx0=y0∴x0=e∴所求的直线方程为y=(1+1/e)x(2)x∈[1，e]f(x)的最小值≥g(x)的最大值g(x)单调递增所以g(x)的最大值是g(e)=e+1再求f(x)的最小值讨论：当1≤a≤e时，f(x)min=f(a)=2a所以只需2a≥1+e所以(1+e)/2≤a≤e当0<a<1时，f(x)min=f(1)=1+a^2当a>1时，f(x)min=f(e)

Answer 2

（1）求经过原点且与g（x）的图像相切的直线方程设切线为y=kx，切点是(x0,x0+lnx0)则有x0+lnx0=kx0 k=dy/dx=1+1/x0 x0+lnx0=1+x0 x0=e 所以y=(1+1/e)x

Answer 3

第一问就是楼上那么做的，我就不写了，贴过来，我写第2问（1）求经过原点且与g（x）的图像相切的直线方程设切线为y=kx，切点是(x0,x0+lnx0)则有x0+lnx0=kx0 k=dy/dx=1+1/x0x0+lnx0=1+x0 x0=e 所以y=(1+1/e)x （2）因为x1.x2都属与[1,e]，所以可以设F(x)=f(x)-g(x) F(x)=x+（a^2）/x-x-lnx=（a^2）/x-lnx 对 F(x)求导，得 F(x)'=-(a^2+x)/x^2 因为x属于[1,e],所以 F(x)'=-(a^2+x)/x^2<0，所以F(x)在[1,e]上单减，当x=e时取得最小值。 当F(x)最小值>=0成立时，f(x)>=g(x) F(x)最小值=F(e)=a^2/e-1>=0 所以解得a>=√e或者a<=-√e 因为a>0，所以{a|0<a<√e，a∈R）； 答完了，要选我哦！！！！