Question

……高手进……已知函数f(x)=x+a^2/x,g(x)=x+Inx,其中a>0:(1)若x=1若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,

(1)若x=1若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值 (2)若对任意的x1,x2属于[1,e](e为自然对数的底数)都有都有f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围
……要有详细过程……谢谢

Answer 1

(1)由已知得
h'(1)=0
h'(x)=f'(x)+g'(x)
=1-a²/x²+1+1/x
=2-a²/x²+1/x
∴h'(1)=2-a²+1=3-a²=0
又a>0
∴a=√3

(2) 若对任意的x1, x2∈[1, e]都有f(x1)≥g(x2)成立,则[f(x)]min≥[g(x)]max
∵当x∈[1, e]时, g′(x)=1+1/x>0
∴函数g(x)=x+lnx在[1, e]上单调递增
∴[g(x)]max=g(2)=e+1
又∵ f′(x)=1-a²/x²=(x+a)(x-a)/x²且x∈[1, e], a>0
∴
(a) 当0<a<1时且x∈[1, e], f′(x)=(x+a)(x-a)/x²>0
∴函数 f(x)=x+a²/x在[1, e]上单调递增
∴[f(x)]min=f(1)=1+a²
由1+a²≥e+1得a≥e
又0<a<1
∴a≥e舍去

(b)当1≤a≤e时
若1≤x<a，则f′(x)=(x+a)(x-a)/x²<0
若a<x≤e，则f′(x)=(x+a)(x-a)/x²>0
∴函数f(x)=x+a²/x在[1, a)上单调递减，在(a, e]上单调递增
∴[f(x)]min=f(a)=2a
由2a≥e+1得a≥(e+1)/2
又1≤a≤e
∴(e+1)/2≤a≤e

(c)当a>e且x∈[1, e]时， f′(x)=(x+a)(x-a)/x²<0
∴函数f(x)=x+a²/x在[1, e]上单调递减
∴[f(x)]min=f(e)=e+a²/e
由e+a²/e≥e+1得a≥√e
又a>e
∴a>e

综上所述，a的取值范围为[(e+1)/2, +∞)

Answer 2

1.在x=1时h(x)的导数=0可以求出a的值
2.分别求出f(x)的最小值大于或等于g(x)的最大值，然后求a的范围即可。