Question

定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=?

解：令x=1,y=0,代入已知条件得
f(1+0)=f(1)+f(0)+2*1*0,即 f(0)=0,
令y=-x，代入已知条件得
f(x-x)=f(x)+f(-x)+2*x*(-x),整理得
f(-x)=2x^2-f(x) (1)
令x=1,y=1代入已知条件得
f(1+1)=f(1)+f(1)+2*1*1=2+2+2=6,即f(2)=6,
令x=2,y=1代入已知条件得
f(2+1)=f(2)+f(1)+2*2*1=12，即f(3)=12
所以，令x=3代入等式（1）中得
f(-3)=2*3^2-f(3)=18-12=6

我的问题是：为什么要令x=1,y=0；y=-x；等等。
具体思路是怎样的？

Answer 1

从题目和问题双方向入手：已知f(1)=2,那么就假设x+y=1，谁是1谁是0没关系，重点是能得到一个新的可知条件f(0)=0，再由此推x+y=0，可以得到 f(-x)=2x^2-f(x)。此时可以看到，出现了f(-x)，和问题f(-3)的形式是一样的，那么，只要求得f(3)即可。就用已得到的关系f(1)=2，f(0)=0，不断的假设，可求得f(3)，最后得到f(-3)=6
这其实是一类问题的解决方法，可以慢慢学习

Answer 2

这叫赋值法．因为等式f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy对任意实数均成立，那么对x＝1，y＝0当然也成立．要求f(－3)，可以先求f(3)，这样就必须知道f(－x)与f(x)间的关系，而要找到f(－x)与f(x)间的关系，又不可避免地要求出f(0)，故有思路令x=1,y=0；y=-x；等．