Question

高一数学 设函数 f(x)定义在（-L,L）上，证明：f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数。

Answer 1

证明：记g(x)=f(x)+f(-x)在x属于区间（-L,L），对于对于-x属于区间（-L,L），有g(-x)=f(-x)+f(x)，所以在x属于区间（-L,L）上，有g(x)=g(-x)，所以g(x)是偶函数。即f(x)+f(-x)是偶函数。
记h(x)=f(x)-f(-x)在x属于区间（-L,L），对于-x属于区间（-L,L），有h(-x)=f(-x)-f(x)，所以在x属于区间（-L,L）上，有h(x)=-h(-x)，所以h(x)是奇函数。即f(x)-f(-x)是奇函数。