Question

高一数学 已知f(x)=(px²+2) / (3x+q) 是奇函数，且f(2)=5/3.

(1)求实数p,q的值；
（2）判断函数 f(x)在（-∞，-1）上的单调性，并加以证明。

Answer 1

(1) 由奇函数, 知f(-x)=-f(x)
可得f(2)=5/3, f(-2)=-f(2)=-5/3,
所以5/3 = (4p+2)/(6+q), 3(4p+2)=5(6+q) (1)
-5/3=(4p+2)/(-6+q), 3(4p+2)=-5(-6+q) (2)
(1)-(2) 5(6+q-6+q)=0 解得q=0
代入(1) p=2.
(2) f(x)=(2x² +2)/(3x)=2/3* (x + 1/x)
设x1<x2<-1,
则x2-x1>0 x1*x2>1 1/x1x2<1
f(x2)-f(x1) = (2/3) * (x2+1/x2-x1-1/x1)
=(2/3)* [(x2-x1)+(1/x2 - 1/x1)]
=(2/3)(x2-x1)(1-1/x1x2)
>0
所以f(x)在(-∞，-1)上单调递增.
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 2

(1)f(x)是奇函数
对于任意x，f(x)=-f(-x)，
因此，q=0
f(2)=5/3，得到p=2
(2)f(x)=2/3·(x+1/x)
设x1<x2<-1
f(x1)-f(x2)=[2(x1x2-1)(x1-x2)]/(3x1x2)<0
因此f(x)在(-∞，-1)上是单调增函数

Answer 3

(1) 由f(x)=-f(-x) 得 (px²+2) / (3x+q)=- (px²+2) / (-3x+q) 得q=0
由f(2)=5/3得(4p+2) /6=5/3 p=2
（2）f(x)=(2x²+2) / (3x) 设x1>x2 得 f(x1)>f(x2)
所以f(x)在(-∞，-1)上单调递增