Question

函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是？

Answer 1

首先必要条件：
随便找几个点代入函数
f(1)=|1+a|+b
f(-1)=b-|a-1|
f(1)+f(-1)=0
2b+|a+1|-|a-1|=0
同理f(2)+f(-2)=0
2b+2|a+2|-2|a-2|=0
可以求出a b的值为0 0

再来充分条件，将a b的值代入
f(x)=x|x|
证明其为奇函数
对任意的x
f(x)+f(-x)=x|x|-x|x|=0 所以为奇函数
综上，a=0 b=0为充要条件

Answer 2

f(-x)+f(x)=0，-x|-x+a|+x|x+a|+b=x(-|x+a|+|-x+a|)+2b=0恒成立，所以b=0，|x+a|=|-x+a|，由后一式子可得a=0

Answer 3

找几个点代入函数,求出ab的值，代入后证明是奇函数。

Answer 4

a=0,b=0