Question

若不等式（m+1)x²-mx+m-1>0的解集为空集则实数m的取值范围是

Answer 1

解题思路：
不等式（m+1)x²-mx+m-1>0的解集，说明不等式无解，分三种情况考虑
1) m+1=0
2) m+1>0
3) m+1<0
然后根据函数图像，来确定空集时，m的取值范围

具体解题过程如下

解：
令f(x)=(m+1)x²-mx+m-1，当f(x)=(m+1)x²-mx+m-1>0时，x的解集为空；
1) 当m+1=0时；
∵ m+1=0 ，则：m=-1
∴ f(x)=(m+1)x²-mx+m-1
=x-2
∵ f(x)=x-2>0
∴ 此时x的解集为：x>2，这与题目f(x)>0 ，x的解集为空集矛盾；

2) m+1>0时；
∵ m+1>0 ，则：m>-1
∴ 根据f(x)=(m+1)x²-mx+m-1的函数图像，可知道：
f(x)是抛物线，且开口向上，不管△=b²-4ac是大于0，等于0，小于0时，
函数f(x)=(m+1)x²-mx+m-1的图像总有f(x)>0的部分，则此时的解集不为空集；
这与题目f(x)>0 ，x的解集为空集矛盾；

3) m+1<0
∵ m+1<0 ，则：m<-1
∴ 根据f(x)=(m+1)x²-mx+m-1的函数图像，可知道：
f(x)是抛物线，且开口向下；只有当△=b²-4ac≤0的时，≥
f(x)是抛物线的图像与x轴只有一个交点，且f(x)≤0恒成立，
此时函数f(x)=(m+1)x²-mx+m-1的图像在f(x)>0的部分，x的解集为空集；
∵ 已经求得：m+1<0，函数f(x)=(m+1)x²-mx+m-1中的△=b²-4ac≤0的时，x的解集为空集；
∴ 可建立以下不等式组：
m+1<0 解不等式，得到：m<-1
△=b²-4ac=(-m)²-4(m+1)(m-1)≤0 解不等式，得到：m≤-(2√3)/3，或 m≥(2√3)/3
【说明：√3表示3中开根号，2√3表示：3开根号后再乘以2】
-1>-(2√3)/3，则不等式组的解集为：m≤-(2√3)/3
【说明：若m≥(2√3)/3，则m+1>0，上面的第二种情况已经求得：当m+1≥0时，f(x)>0 ，
x的解集不为空集，所以，m不能在m≥(2√3)/3范围内取值】
∴ 不等式(m+1)x²-mx+m-1>0的解集为空集时，m的取值范围为：
m≤-(2√3)/3

Answer 2

因为空集，且不等式>0，所以m+1<0.又因为空集，所以△=b^2-4ac<0，解得m<-(2√3)/3,或m>(2√3)/3.因为m+1<0，所以m<-(2√3)/3

Answer 3

解：令△=m^2-4(m+1)(m-1)=-3m^2+4<0，解得m>2√3/3，则当m>2√3/3时原不等式的解集为空集。

Answer 4

孩子啊、你这么做是错的 。
你应该问你老师去 。你交给他们学费了。