Question

设集合M={x|f(x)=x},集合N{x|f(f(x))=x},若已知函数y=f(x)是R上的增函数

,记|M|，|N|是M，N中元素的个数，则下列判断一定正确的是
A、|M|=|N| B、|M|＞|N| C、|M|＜|N| D、||M|-|N||=1

要求详细解答

Answer 1

解：因为不管在M还是在N中，x的定义域在题中都没有体现，也就是说这两个独立的集合可以取完全不同的定义域，M和N的交集是空集都大有可能，所以说|M|，|N|是没有可比性的。
所以说A、B、C都是错误的，但是这里的| |并不表示绝对值，而是表示集合中元素的数量，所以不管（|M|-|N|）的得数是什么，总归就是一个数，所以||M|-|N||=1是一定正确的。
综上所述，选D。
PS：“函数y=f(x)是R上的增函数”仅仅是迷惑项，它仅仅定义了函数在一般情况下x的取值范围，但是并没有规定集合M、N的定义域。

Answer 2

已知函数y=f(x)是R上的增函数
这个是解题的关键之处！表明f(x)在R上都有定义且为增函数（增函数表明有反函数且反函数唯一）

所以
对集合N而言
因为f(f(x))=x
两边同时取反函数
则有f(x)=f﹣1(x)
即原函数与反函数相等
所以能得到f(x)=x或者f(x)=-x此处x∈R
又f(x)为增函数
所以f(x)=x
所以M的集合元素个数和N的集合元素个数相等
选A
我有点凌乱了……