Question

已知集合M={x|f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x|f[f(x)]-x=0,x∈R},其中f(x)是一个二次项

已知集合M={x|f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x|f[f(x)]-x=0,x∈R}，其中f(x)是一个二次项系数为1的二次函数
（1）判断M与N的关系
（2）若M是单元素集合，求证M=N

Answer 1

（1）

解：不妨设 f(x) = x^2+bx+c;

在 M 中， f(x) = x^2+bx+c = x ……（1）;

再看 N： f[f(x)] = (x^2+bx+c)^2 + b*(x^2+bx+c) + c …… （2）
假设 x ∈ M , 则 （2）式可化为：f[f(x)] = x^2+bx+c = x
即 x ∈ N ，所以 M ⊆ N。

但是反过来是不成立的，这很显然，因为 N 相当于是解一个 一元四次方程，可能有四个不同的解，而 M 再多只有两个解。

（2） 用反证法：

假设有 N 还存在至少另外一个元素满足条件，
不妨设 N = { x1,x2 },M={ x1 }.

( 注：下面的符号 != 表示 “不等于”）
对于 f[f(x)] - x = (x^2+bx+c)^2 + b*(x^2+bx+c) + c - x = 0，
因为 f(x2) = t != x2 , 即 f[f(x2)] - x2 = t^2 + b*t + c - x2 = 0 成立.

对于 f(t) = t^2 + b*t + c,由 M 是单元素集合可知， t = x2 必然成立，这与假设矛盾，故有 M=N.

Answer 2

fes