Question

设f(x)=x2+mx+n,集合A={x/x=f(x)},集合B={x/x+f[f(x)]}

(1)求证：A含于B

（2）如果A=｛3，-1｝，求集合B

Answer 1

（1）设 a∈A ，那么 a=f(a) ，因此 f[f(a)]=f(a)=a ，即 a∈B ，
所以 A 是 B 的子集 。
（2）A=｛3，-1｝，说明方程 x=x^2+mx+n 即 x^2+(m-1)x+n=0 有根 3、-1 ，
那么 3-1= -(m-1) ，3*(-1)=n ，
所以 m= -1 ，n= -3 ，则 f(x)=x^2-x-3 ，
由 f[f(x)]=x 得 (x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x ，
化简得 (x+1)(x-3)(x^2-3)=0 ，
解得 x1= -1 ，x2= 3 ，x3= -√3 ，x4=√3 ，
所以 B=｛-1，3，-√3，√3｝。